Maîtriser l'étude de fonction avec ln(x) : exercice type bac pas à pas

Comment Réussir l'Analyse d'une Fonction avec ln(x) au Bac

Cet article a pour objectif de te préparer à aborder avec assurance une épreuve type bac portant sur l'étude d'une fonction comportant le logarithme népérien (ln(x)). Ce type d'exercice est classique en terminale et permet de vérifier la maîtrise de plusieurs compétences essentielles : le calcul de limites, la dérivation, l'étude des variations et de la convexité d'une fonction, ainsi que le calcul intégral.

Pour illustrer ces notions, nous allons nous appuyer sur un sujet du bac, structuré en trois parties. Cette structure correspond à celle que l'on retrouve fréquemment dans les sujets d'examen.

Présentation de l'Exercice

L'exercice est composé de trois parties :

Partie A : Étude de la fonction f définie par f(x) = x - 2 + (1/2)ln(x). L'objectif est de déterminer les limites de f, sa dérivée, ses variations, sa convexité, et de résoudre l'équation f(x) = 0.

Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire g, définie à partir de f. Il s'agira de déterminer une primitive de g et de calculer une intégrale.

Partie C : Cette partie peut aborder d'autres aspects de l'analyse de fonctions, tels que des applications du calcul intégral, ou une étude plus approfondie de la fonction g.

Partie A : Étude de la fonction f définie par f(x) = x - 2 + (1/2)ln(x)

1. Limites et dérivée

• a. Limites de f en 0 et en +∞

  • En 0 :

    • La limite de x lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures est 0.

    • La limite de ln(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures est -∞.

    • Par conséquent, la limite de (1/2)ln(x) est également -∞.

    • La fonction f étant la somme de ces deux termes, sa limite en 0 est -∞.

    • Ce résultat indique que la représentation graphique de f présente une asymptote verticale d'équation x = 0.

  • En +∞ : Lorsque x tend vers +∞, x tend vers +∞. De même, ln(x) tend vers +∞, et par conséquent, (1/2)ln(x) tend également vers +∞. La fonction f se présente alors comme la somme de deux termes tendant vers +∞, et d'une constante. Il s'ensuit que la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ est +∞. Ce comportement traduit la croissance non bornée de la fonction pour les grandes valeurs de la variable.

• b. Dérivée de f

  • La fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. En particulier, la fonction x, la constante -2, et la fonction ln(x) sont dérivables sur ]0; +∞[.

  • La dérivée de x est 1. La dérivée de -2 est 0. La dérivée de ln(x) est 1/x. Par conséquent, la dérivée de (1/2)ln(x) est (1/2) * (1/x) = 1/(2x). En sommant ces dérivées, on obtient l'expression de la dérivée de f : f'(x) = 1 + 1/(2x). Cette expression peut être mise sous forme d'une seule fraction en réécrivant 1 comme 2x/(2x). On obtient alors : f'(x) = (2x)/(2x) + 1/(2x) = (2x + 1)/(2x).

• c. Sens de variation de f

  • L'étude du sens de variation de f requiert l'analyse du signe de sa dérivée, f'(x). Puisque x est strictement positif sur l'intervalle considéré, le dénominateur 2x est également strictement positif. Par conséquent, le signe de f'(x) est déterminé par le signe de son numérateur, 2x + 1.

  • La résolution de l'inéquation 2x + 1 > 0 permet de déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) est positif. L'inéquation 2x + 1 > 0 est équivalente à 2x > -1, soit x > -1/2. Cette condition étant toujours vérifiée pour x > 0, on en déduit que f'(x) est strictement positif sur l'intervalle ]0; +∞[.

  • La positivité stricte de la dérivée de f sur ]0; +∞[ implique que la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle. En d'autres termes, les valeurs de f(x) augmentent de manière monotone avec l'accroissement de x.

• d. Convexité de f

  • La convexité de la fonction f est déterminée par le signe de sa dérivée seconde, f''(x). Pour déterminer f''(x), on dérive l'expression de f'(x) = (2x + 1)/(2x). Cette expression peut être réécrite sous la forme f'(x) = 1 + 1/(2x) = 1 + (1/2)x-1. La dérivée de la constante 1 est 0. La dérivée de (1/2)x-1 est (1/2) * (-1) * x-2 = -1/(2x2). Par conséquent, f''(x) = -1/(2x2).

  • L'analyse du signe de f''(x) révèle que son numérateur, -1, est constamment négatif. Le dénominateur, 2x2, est quant à lui toujours positif, puisque x2 est positif pour toute valeur de x non nulle, et que le coefficient 2 est positif. On en conclut que f''(x) est strictement négatif pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle ]0; +∞[.

  • La négativité stricte de la dérivée seconde de f sur ]0; +∞[ indique que la fonction f est concave sur cet intervalle. Géométriquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de f est orientée vers le bas : en tout point de la courbe, la tangente à celle-ci se situe au-dessus de la courbe au voisinage de ce point.

• 2. Étude de l'équation f(x) = 0

  • a. Existence et unicité de la solution α

    • La fonction f est continue sur ]0; +∞[ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle, à savoir la fonction x, la constante -2, et la fonction ln(x). De plus, il a été précédemment établi que f est strictement croissante sur ]0; +∞[.

    • Les limites de f aux bornes de son intervalle de définition ont été calculées : limx→0+ f(x) = -∞ et limx→+∞ f(x) = +∞. Ces résultats impliquent que f prend toutes les valeurs réelles comprises entre -∞ et +∞. En particulier, il existe une valeur de x pour laquelle f(x) = 0.

    • Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) énonce que si une fonction est continue sur un intervalle [a, b], et si k est une valeur comprise entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un nombre c dans l'intervalle [a, b] tel que f(c) = k. Dans le cas présent, k = 0. La continuité et la croissance stricte de f garantissent l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation f(x) = 0. Cette solution est notée α.

    • Afin de localiser la position de α, on recherche deux valeurs de x pour lesquelles les valeurs correspondantes de f(x) sont de signes opposés. On calcule f(1) = 1 - 2 + (1/2)ln(1) = -1 < 0. On calcule également f(4) = 4 - 2 + (1/2)ln(4) = 2 + (1/2)(2ln(2)) = 2 + ln(2) > 0, puisque ln(2) > 0. L'inégalité f(1) < 0 et f(4) > 0 implique que la solution α appartient à l'intervalle ]1; 4[. Il est à noter que d'autres valeurs que 4 auraient pu être choisies, l'important étant d'identifier un intervalle où f change de signe.

  • b. Signe de f(x)

    • La solution de l'équation f(x) = 0 étant α, on a f(α) = 0. La croissance stricte de f permet de déterminer le signe de f(x) en comparant x à α :

      • Si x < α, alors f(x) < f(α), donc f(x) < 0. Cet intervalle correspond à ]0; α[.

      • Si x = α, alors f(x) = f(α), donc f(x) = 0.

      • Si x > α, alors f(x) > f(α), donc f(x) > 0. Cet intervalle correspond à ]α; +∞[.

  • c. Expression de ln(α)

    • L'équation f(α) = 0 découle du fait que α est la solution de l'équation f(x) = 0. En substituant α à x dans l'expression de f(x), on obtient : α - 2 + (1/2)ln(α) = 0.

    • L'isolation du terme contenant ln(α) donne : (1/2)ln(α) = 2 - α.

    • La multiplication des deux membres de l'équation par 2 permet d'obtenir l'expression de ln(α) : ln(α) = 2(2 - α).