4 exercices essentiels pour comprendre les intégrales en Terminale Spé Maths

🧠 Comprendre les intégrales avec 4 exercices essentiels – Terminale Spé Maths

Les intégrales : rien que le mot peut faire peur. Pourtant, derrière ce concept mathématique se cache une idée simple et puissante : calculer une aire sous une courbe. En terminale, elles deviennent un outil indispensable, que ce soit pour analyser des fonctions, modéliser des situations concrètes ou aborder les équations différentielles. Voici 4 exercices fondamentaux pour maîtriser les bases et gagner en confiance dès les premiers cours.

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✍️ Exercice 1 : Interpréter une intégrale comme une aire

Énoncé : Soit la fonction $f(x) = 2x$. On considère l’aire sous la courbe de $f$ entre $x = 0$ et $x = 3$. Calculer cette aire à l’aide d’une intégrale.

Objectifs pédagogiques :

• Comprendre qu’une intégrale représente une aire algébrique.

• Utiliser la formule de l’intégrale définie pour une fonction positive.

Solution attendue :

$$\int_0^3 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^3 = 9$$

🎓 Astuce : On peut aussi visualiser l’aire comme un triangle sous la droite $y = 2x$ !

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✍️ Exercice 2 : Calculer une intégrale à partir d’une primitive

Énoncé : Soit $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$. Calculer $\int_1^2 f(x) \, dx$.

Objectifs pédagogiques :

• Revoir la notion de primitive.

• Appliquer la formule fondamentale : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$

Solution attendue :

$$F(x) = x^3 - x^2 + x \Rightarrow F(2) - F(1) = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 5$$

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✍️ Exercice 3 : Étudier le signe d’une intégrale

Énoncé : Soit $f(x) = x^2 - 4$. Étudier le signe de $\int_{-3}^{3} f(x)\,dx$.

Objectifs pédagogiques :

• Comprendre que le signe d’une intégrale dépend du signe de la fonction sur l’intervalle.

• Introduire la notion d’aire positive ou négative.

Méthode :

• $f(x) < 0$ sur $[-2,2]$, $f(x) > 0$ ailleurs.

• Par symétrie, les aires positives et négatives s’annulent partiellement.

Résultat :

$$\int_{-3}^{3} (x^2 - 4) dx = 2 \int_0^3 (x^2 - 4) dx = 2\left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_0^3 = 2\left(9 - 12\right) = -6$$

💡 L’aire est négative ici car la fonction est majoritairement négative sur l’intervalle.

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✍️ Exercice 4 : Déterminer une valeur approchée d’une intégrale

Énoncé : Donner une approximation de $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ par la méthode des rectangles (n = 4).

Objectifs pédagogiques :

• Introduire l’idée de méthode numérique.

• Préparer les élèves à utiliser une calculatrice ou un logiciel pour estimer une intégrale.

Méthode :

• Intervalle de longueur 1, divisé en 4 : $\Delta x = 0,25$

• Rectangles gauches ou droits → faire calculer la somme manuellement.

Conclusion : Les méthodes numériques sont utiles pour des fonctions non intégrables par une primitive connue !

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📌 En résumé

Ces 4 exercices couvrent :

• l’interprétation géométrique,

• le calcul algébrique,

• l’analyse du signe d’une intégrale,

• et une approche numérique.

Ils permettent de construire des automatismes solides, nécessaires pour aborder les problèmes types du bac ou du supérieur.

🧭 Conseil : refais ces exercices en autonomie, puis vérifie avec une calculatrice graphique ou un logiciel comme GeoGebra ou Python !