Terminale - Spé Maths - Limite d'une Suite Monotone

Voici un post de blog optimisé SEO et engageant sur 3 exercices faciles sur la limite d’une suite monotone en Terminale. 🎯📚

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🚀 3 Exercices Faciles sur la Limite d’une Suite Monotone en Terminale Spé Maths

Les suites monotones et leur convergence font partie des notions fondamentales du programme de spécialité mathématiques en Terminale. 📈 Comprendre leur comportement asymptotique est essentiel pour bien aborder l’analyse en mathématiques.

Dans cet article, nous te proposons 3 exercices faciles pour maîtriser la notion de limite d’une suite monotone. 🔥 À la fin, tu trouveras les résultats détaillés ainsi que des astuces pour progresser efficacement ! 💡

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📌 Exercice 1 : Étude d’une suite croissante bornée

On considère la suite définie par :

$$u_0 = 2, \quad u_{n+1} = \frac{u_n + 6}{2}, \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}.$$

Questions :

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
2. Justifier qu’elle est majorée par 6.
3. Déterminer la limite de la suite.

Astuces :

🔹 Prouve que $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour la croissance.
🔹 Utilise une récurrence pour montrer que $u_n \leq 6$.
🔹 Applique le théorème de la limite d’une suite croissante majorée. ✅

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📌 Exercice 2 : Étude d’une suite décroissante minorée

Soit la suite $(v_n)$ définie par :

$$v_0 = 10, \quad v_{n+1} = \frac{v_n}{2} + 3.$$

Questions :

1. Montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante.
2. Justifier qu’elle est minorée.
3. En déduire sa limite.

Astuces :

🔹 Vérifie que $v_{n+1} - v_n \leq 0$ pour établir la décroissance.
🔹 Détermine un minorant, par exemple une borne inférieure.
🔹 Applique le théorème de la limite d’une suite décroissante minorée. 📉

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📌 Exercice 3 : Étude d’une suite définie par une somme partielle

On considère la suite :

$$w_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}.$$

Questions :

1. Montrer que la suite $(w_n)$ est croissante.
2. Justifier qu’elle est majorée.
3. Que peut-on dire de sa limite ?

Astuces :

🔹 Une somme partielle de termes positifs donne une suite croissante.
🔹 Trouve une majoration de la somme en comparant avec une intégrale.
🔹 Se demander si la suite est bornée permet de conclure sur sa convergence ! 🔍

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🎯 Résultats et corrections

✅ Exercice 1 :

• Croissance : $u_{n+1} - u_n = \frac{6 - u_n}{2} \geq 0$, donc la suite est croissante.
• Majorant : Par récurrence, $u_n \leq 6$ pour tout $n$.
• Limite : En posant $\ell = \lim u_n$, on résout $\ell = \frac{\ell + 6}{2}$, d’où $\ell = 6$.

✅ Exercice 2 :

• Décroissance : $v_{n+1} - v_n = \frac{v_n}{2} + 3 - v_n = -\frac{v_n}{2} + 3 \leq 0$, donc décroissante.
• Minorant : $v_n \geq 6$ par récurrence.
• Limite : En posant $\ell = \lim v_n$, on résout $\ell = \frac{\ell}{2} + 3$, d’où $\ell = 6$.

✅ Exercice 3 :

• Croissance : $w_{n+1} = w_n + \frac{1}{n+2}$, donc suite croissante.
• Majorant : La somme partielle est bornée par l’intégrale $\int_1^n \frac{dx}{x+1}$.
• Limite : La suite est convergente vers un réel $L$ (on peut montrer qu’elle tend vers une constante).

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🔥 Conseils pour réussir

✅ Travaille la récurrence pour montrer la monotonie des suites.
✅ Cherche un majorant ou un minorant pour démontrer la convergence.
✅ Utilise les théorèmes fondamentaux : une suite croissante et majorée est convergente, idem pour une suite décroissante et minorée.
✅ Entraîne-toi sur d’autres suites en modifiant légèrement les formules de récurrence.

💡 Astuce bonus : Utilise un tableur ou Python pour observer le comportement des suites numériquement ! 📊

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Avec ces exercices corrigés, tu as maintenant toutes les clés pour maîtriser la limite d’une suite monotone ! 🚀
Dis-nous en commentaire quelle méthode t’aide le plus ou si tu veux d’autres exercices sur ce thème. 🎯📖