Suites numériques 1re Spé Maths : 4 exercices corrigés progressifs (arithmétique, géométrique, modélisation)

🧮 Suites numériques (1re Spé Maths) : 4 exercices progressifs + méthodes (corrections en fin d’article)

Objectif : s’entraîner sur les suites arithmétiques, géométriques, la modélisation et la notion de limite, avec des astuces de résolution. ✍️ Les corrections sont regroupées à la fin pour favoriser la recherche autonome.

💡 Sommaire :

• Exercice 1 – Suite arithmétique
• Exercice 2 – Suite géométrique
• Exercice 3 – Passage récurrence ↔ explicite, seuil
• Exercice 4 – Modélisation + limite (récurrence affine)
• ✅ Corrections détaillées (tous les exercices)

🔹 Exercice 1 – Suite arithmétique simple

Énoncé. On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 5 et u_n+1 = u_n + 3 pour tout n ≥ 0.

1. Calculer les 5 premiers termes.
2. Exprimer u_n en fonction de n.
3. Déterminer la somme des 20 premiers termes.

🧠 Méthode & Astuces

• 👀 Reconnaitre une suite arithmétique : on ajoute toujours la même valeur (raison r = 3).
• 📐 Formule du terme général : u_n = u₀ + n·r.
• ∑ Somme des n premiers termes : S_n = ((u₀ + u_n−1) × n) / 2.
• ⚠️ Astuce anti-piège : bien utiliser u_n−1 pour la somme de n termes.

👉 La correction de cet exercice se trouve en fin d’article.

🔹 Exercice 2 – Suite géométrique et somme

Énoncé. La suite (v_n) est définie par v₁ = 200 et v_n+1 = 1,05 · v_n.

1. Calculer v₂ et v₃.
2. Exprimer v_n en fonction de n.
3. Calculer la somme des 10 premiers termes.

🧠 Méthode & Astuces

• 🔎 Suite géométrique : on multiplie à chaque étape par la même constante (q = 1,05).
• 🧾 Terme général : v_n = v₁ · qⁿ⁻¹. (⚠️ bien mettre n−1)
• ∑ Somme : S_n = v₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q), pour q ≠ 1.
• 🧮 Calculatrice : utiliser la touche puissance pour qⁿ.

👉 La correction de cet exercice se trouve en fin d’article.

🔹 Exercice 3 – Récurrence ↔ explicite & passage de seuil

Énoncé. On modélise un capital : w₀ = 1000 et w_n+1 = w_n + 50.

1. Donner w_n en fonction de n.
2. Quel type de suite ? Quel phénomène est modélisé ?
3. Déterminer le plus petit n tel que w_n > 2000 €.

🧠 Méthode & Astuces

• 🧭 Identifier encore une suite arithmétique.
• 📐 Passer à l’expression explicite : w_n = w₀ + n·r.
• 🎯 Seuil : résoudre l’inéquation w_n > 2000 puis prendre le plus petit entier qui convient.
• ✔️ Astuce : penser « mois » ou « périodes » pour l’interprétation temporelle.

👉 La correction de cet exercice se trouve en fin d’article.

🔹 Exercice 4 – Modélisation réelle & comportement à long terme

Énoncé. Population initiale : 10 000 insectes. Chaque année, la population augmente de 20 % puis on enlève 500 individus. On note p_n la population au début de l’année n.

1. Écrire une relation de récurrence reliant p_n+1 à p_n.
2. Calculer p₁ et p₂.
3. À l’aide de quelques itérations (tableur ou calculatrice), conjecturer le comportement de p_n quand n devient grand.

🧠 Méthode & Astuces

• 🧩 Traduction : « +20 % » ⇒ multiplier par 1,2 ; puis « −500 » ⇒ soustraire 500.
• ⛏️ Calculer quelques termes pour voir la tendance (croît ? décroît ? se stabilise ?).
• 🧭 Comprendre que la récurrence est affine (p_n+1 = a p_n + b), donc ni purement arithmétique ni géométrique.
• 🔭 Objectif : formuler une conjecture de limite à partir des valeurs numériques.

👉 Les corrections des 4 exercices commencent ci-dessous.

✅ Corrections détaillées (avec commentaires pédagogiques)

✔️ Correction Exercice 1

Calcul des termes : u₀=5, u₁=8, u₂=11, u₃=14, u₄=17.

Terme général : r=3 ⇒ u_n=5+3n.

Somme 20 premiers : u₁₉=5+3×19=62 ; S₂₀=((5+62)×20)/2=670.

Commentaire : on applique les formules canoniques des suites arithmétiques. Le point de vigilance est l’index pour la somme : on additionne bien 20 termes, donc on termine à u₁₉.

✔️ Correction Exercice 2

Termes : v₂=200×1,05=210 ; v₃=210×1,05=220,5.

Terme général : v_n=200×1,05ⁿ⁻¹.

Somme 10 premiers : S₁₀=200×(1−1,05¹⁰)/(1−1,05). Avec 1,05¹⁰≈1,6289 ⇒ S₁₀≈200×12,578≈2515,6.

Commentaire : le piège classique est l’exposant n−1. Pour la somme géométrique, on cite la formule et on évalue proprement la puissance avec la calculatrice.

✔️ Correction Exercice 3

Terme général : arithmétique (r=50) ⇒ w_n=1000+50n.

Interprétation : croissance linéaire (versement fixe chaque période).

Seuil : 1000+50n>2000 ⇔ 50n>1000 ⇔ n>20. Le plus petit entier est n=21.

Commentaire : quand on cherche le premier rang qui dépasse un seuil, on résout l’inéquation puis on prend le plus petit entier strictement supérieur. Penser « mois/périodes » aide à interpréter.

✔️ Correction Exercice 4

Récurrence : p_n+1=1,2·p_n−500.

Termes : p₁=1,2×10000−500=11500 ; p₂=1,2×11500−500=13300 ; puis p₃=15500 ; p₄=18600…

Tendance : les valeurs augmentent de plus en plus : la croissance proportionnelle (×1,2) domine la régulation (−500). Conjecture : p_n→+∞.

Commentaire : on est face à une récurrence affine. Par exploration numérique (tableur), on construit une intuition de la limite. Remarque : si le coefficient multiplicatif était plus proche de 1 (ou si la soustraction était plus forte), on pourrait observer une stabilisation ou une décroissance.

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