Spé maths Tle - Limites de Suite - Exos corriges

Exercices corrigés sur les limites de suites (Terminale spécialité maths)

Les limites de suites sont un chapitre fondamental du programme de spécialité mathématiques en Terminale. Savoir manipuler une suite, la comparer à des suites de référence et reconnaître les bonnes méthodes est indispensable pour réussir au bac. Voici trois exercices corrigés, avec explications étape par étape et la méthode utilisée mise en avant à chaque fois.

Exercice 1 — Suite géométrique

Énoncé : On considère la suite \(u_n = 5 \cdot (0{,}6)^n\).

1. Montrer que la suite est décroissante et bornée inférieurement.
2. Déterminer la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.

Méthode utilisée :

• Pour montrer que la suite est décroissante : comparer le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
• Pour montrer qu’elle est bornée : utiliser le signe du terme général.
• Pour la limite : appliquer le résultat connu des suites géométriques de raison \(|q|<1\).

Correction :

On calcule \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = 0{,}6 < 1\), donc la suite est décroissante. De plus, \((0{,}6)^n > 0\), donc la suite est minorée par 0. Comme \(|0{,}6| < 1\), on sait que \((0{,}6)^n \to 0\). Ainsi, \(\lim_{n\to\infty} u_n = 0\).

Exercice 2 — Limite avec racines

Énoncé : On considère la suite \(v_n = \sqrt{n^2+3n} - n\). Calculer sa limite.

Méthode utilisée :

• Face à une différence de racines, on pense à la rationalisation, c’est-à-dire multiplier par la conjugée.
• Ensuite, on simplifie et on met en évidence un facteur \(n\).
• Enfin, on applique la limite en utilisant les suites de référence (\(\frac{1}{n} \to 0\)).

Correction :

On a \(v_n = \frac{(\sqrt{n^2+3n}-n)(\sqrt{n^2+3n}+n)}{\sqrt{n^2+3n}+n}\). Cela donne \(\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}\). En factorisant : \(\sqrt{n^2+3n}=n\sqrt{1+\tfrac{3}{n}}\), donc \(v_n = \frac{3}{\sqrt{1+\tfrac{3}{n}}+1}\). Quand \(n\to\infty\), \(\sqrt{1+\tfrac{3}{n}}\to 1\), donc \(\lim v_n = \tfrac{3}{2}\).

Exercice 3 — Suite définie par récurrence affine

Énoncé : On définit la suite par \(w_0=0\) et \(w_{n+1} = 0{,}8\,w_n+3\).

1. Déterminer la limite de la suite.
2. Donner une expression explicite de \(w_n\).
3. Étudier les variations et le bornage.

Méthode utilisée :

• On recherche d’abord un point fixe : la limite \(\ell\) doit vérifier \(\ell = 0{,}8\ell + 3\).
• On transforme la suite en une suite géométrique en posant \(e_n = w_n - \ell\).
• On déduit une formule explicite, puis on analyse la variation et les bornes grâce aux propriétés de la suite géométrique associée.

Correction :

On cherche \(\ell\) tel que \(\ell = 0{,}8\ell + 3\). On obtient \(\ell = 15\). Posons \(e_n = w_n - 15\). Alors \(e_{n+1} = 0{,}8 e_n\). Ainsi \(e_n = e_0(0{,}8)^n = -15 (0{,}8)^n\). Donc \(w_n = 15 - 15(0{,}8)^n = 15(1-(0{,}8)^n)\). Comme \((0{,}8)^n\) décroît vers 0, la suite est croissante, bornée entre 0 et 15, et converge vers 15.

Points-clés à retenir

• Suite géométrique : si \(|q|<1\), alors \(a q^n \to 0\).
• Conjugaison : pour traiter les différences de racines, multiplier par la conjugée simplifie la limite.
• Suite récurrente affine : de type \(u_{n+1}=au_n+b\), si \(|a|<1\), la suite converge vers \(\frac{b}{1-a}\).

Conclusion

Ces exercices corrigés montrent trois méthodes essentielles : la géométrique, la rationalisation et la recherche de point fixe. Ce sont des réflexes incontournables en Terminale spécialité maths. Pour progresser davantage, entraînez-vous avec des suites plus complexes (théorème des gendarmes, suites avec intégrales, suites de comparaison). Plus vous pratiquez, plus les méthodes deviennent naturelles et vous serez prêt pour le bac.

FAQ

Comment savoir si une suite converge ?

On étudie son sens de variation, ses bornes, et on compare avec des suites de référence comme \(1/n\) ou \(q^n\).

Quelles sont les suites de référence à connaître ?

Les principales sont : \(q^n\) avec \(|q|<1\) (tend vers 0), \(1/n \to 0\), \(1/n^p \to 0\), et \(\sqrt{n^2+a n} - n \to a/2\).

Quelle méthode utiliser en priorité ?

Cela dépend de la forme de la suite : si c’est une puissance, penser aux suites géométriques ; si c’est une racine, penser à la conjugaison ; si c’est une récurrence affine, chercher le point fixe.