Correction Exo Bac Maths probabilités : groupes sanguins, loi binomiale et donneur universel
Correction bac maths : groupes sanguins, probabilités et loi binomiale
Un exercice complet pour réviser les probabilités conditionnelles, les arbres pondérés, la loi binomiale, l’espérance, la variance et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Dans cet exercice de mathématiques du bac, on étudie la répartition des groupes sanguins dans la population française. Il existe quatre groupes sanguins principaux : A, B, AB et O. Chaque groupe peut être associé à un facteur Rhésus positif ou négatif.
L’objectif de l’exercice est de modéliser cette situation à l’aide d’un arbre pondéré, puis d’utiliser les probabilités conditionnelles pour calculer la probabilité qu’une personne soit donneur universel. Dans la suite, l’exercice introduit également une loi binomiale, puis une moyenne de variables aléatoires indépendantes.
Ce qu’il faut savoir avant de commencer
Cet exercice mobilise plusieurs notions importantes du programme de terminale :
- les probabilités conditionnelles : comprendre une probabilité “sachant que” ;
- l’arbre pondéré : organiser les données et multiplier le long des branches ;
- la formule des probabilités totales : additionner plusieurs chemins possibles ;
- la loi binomiale : modéliser un nombre de succès dans une répétition d’expériences indépendantes ;
- l’espérance et la variance : interpréter une moyenne attendue et une dispersion ;
- l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : encadrer une probabilité à partir de la variance.
Pourquoi cet exercice est intéressant ?
L’exercice paraît au départ très concret : il parle de groupes sanguins et de donneurs universels. Mais derrière cette situation simple se cache une très bonne synthèse de plusieurs méthodes classiques du bac.
Il oblige d’abord à bien distinguer une probabilité simple, comme P(A), d’une probabilité conditionnelle, comme PA(R), qui signifie : “probabilité d’être Rhésus positif sachant que la personne est du groupe A”.
Ensuite, l’exercice montre comment passer d’une situation individuelle à une situation d’échantillon. On ne se demande plus seulement si une personne est donneur universel, mais combien de donneurs universels on peut espérer trouver dans un échantillon de 100 personnes.
La méthode à retenir
Pour réussir ce type d’exercice, il faut avancer étape par étape :
- Identifier les événements : groupe sanguin, Rhésus positif, Rhésus négatif.
- Compléter l’arbre avec les probabilités données dans l’énoncé.
- Multiplier le long d’une branche pour calculer une intersection.
- Additionner plusieurs branches pour utiliser les probabilités totales.
- Reconnaître une loi binomiale lorsque l’on répète une expérience indépendante plusieurs fois.
- Utiliser les formules de l’espérance, de la variance et de Bienaymé-Tchebychev.
Les résultats essentiels de la correction
Dans la première partie de l’exercice, on complète l’arbre pondéré. On trouve notamment que la probabilité d’appartenir au groupe O est :
P(O) = 1 − (0,45 + 0,10 + 0,03) = 0,42
On utilise ensuite les probabilités totales pour montrer que, dans le groupe O, 83 % des individus sont Rhésus positif. Donc 17 % sont Rhésus négatif.
Comme les donneurs universels sont les personnes du groupe O négatif, on obtient :
P(O ∩ R̄) = 0,42 × 0,17 = 0,0714
Autrement dit, la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit donneur universel est de 0,0714, soit 7,14 %.
La loi binomiale dans l’exercice
Dans la suite, on prélève un échantillon de 100 personnes. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.
Comme chaque personne a la même probabilité p = 0,0714 d’être donneur universel, et que l’on assimile le tirage à un tirage avec remise, on peut modéliser la situation par une loi binomiale :
X suit la loi binomiale B(100 ; 0,0714)
On obtient alors :
- P(X ≤ 7) ≈ 0,577 : il y a environ 57,7 % de chances d’avoir au plus 7 donneurs universels dans un échantillon de 100 personnes ;
- E(X) = 7,14 : en moyenne, on attend 7,14 donneurs universels sur 100 personnes ;
- V(X) ≈ 6,63 : la variance mesure la dispersion autour de cette moyenne.
La difficulté finale : Bienaymé-Tchebychev
La dernière question est plus technique. Elle porte sur une collecte organisée dans plusieurs villes. On étudie alors la moyenne :
MN = (X1 + X2 + ... + XN) / N
Cette variable représente le nombre moyen de donneurs universels dans les échantillons de 100 personnes prélevés dans les différentes villes.
On montre que :
- E(MN) = 7,14 ;
- V(MN) = 6,63 / N.
L’idée importante est la suivante : lorsqu’on fait une moyenne de variables indépendantes, l’espérance reste la même, mais la variance diminue. Plus on prend de villes, plus la moyenne devient stable.
En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on trouve qu’il faut au minimum :
6766 villes
pour pouvoir affirmer que la probabilité que la moyenne soit comprise entre 7 et 7,28 est supérieure ou égale à 0,95.
À retenir pour le bac
Cet exercice est un excellent entraînement car il rassemble plusieurs automatismes indispensables :
- sur un arbre, on multiplie le long d’une branche ;
- pour une probabilité totale, on additionne les chemins possibles ;
- une loi binomiale apparaît lorsqu’on répète une expérience indépendante avec deux issues possibles : succès ou échec ;
- l’espérance donne une moyenne attendue ;
- la variance mesure la dispersion ;
- l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de garantir une probabilité minimale autour de l’espérance.
Fiches de correction à télécharger ou à imprimer
Pour accompagner cette correction, voici deux fiches de révision au format A4, pensées comme des supports visuels simples et efficaces. Elles reprennent l’énoncé, les rappels de cours, la méthode et les corrections détaillées des questions.
La première fiche présente l’énoncé résumé, les rappels de cours, la méthode générale, l’arbre complété et les questions 1 à 3. La seconde fiche corrige les questions 4 à 6, avec la loi binomiale, l’espérance, la variance et l’utilisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Objectif : réviser rapidement les probabilités du bac avec une fiche claire, colorée et facile à mémoriser.
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